Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．則點(diǎn)A到平面PBC的距離是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：先證明BC⊥平面PAC，可得平面PBC⊥平面PAC，過A點(diǎn)在平面PAC內(nèi)作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，則AF的長即為點(diǎn)A到面PBC的距離，由此可得結(jié)論．
解答：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且 AC=2．
取AB的中點(diǎn)E，連接CE，

由題意可知，四邊形AECD為正方形，所以AE=CE=2，
又BE=AB=2，所以CE=AB，所以△ABC為等腰直角三角形，所以AC⊥BC，
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影，BC?平面ABCD，由三垂線定理得，BC⊥PC
因?yàn)镻C∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，
過A點(diǎn)在平面PAC內(nèi)作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，則AF的長即為點(diǎn)A到平面PBC的距離，
在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2，PC=2，
所以AF=，即點(diǎn)A到平面PBC的距離為
故選C．
點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查線面、面面垂直，正確作出表示點(diǎn)A到平面PBC的距離的線段是關(guān)鍵．