Question

已知函數f（x）的導函數f^′（x）=-3x²+6x+9．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

解：（1）由f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x+1）（x-3）＜0，得x＜-1或x＞3，
由f′（x）=-3（x+1）（x-3）＞0，得-1＜x＜3，
∴函數f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調增區(qū)間為（-1，3）；
（2）設f（x）=ax³+bx²+cx+d，則f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴3a=-3，2b=6，c=9，
即a=-1，b=3，c=9．
故f（x）=-x³+3x²+9x+d，
由（1）知f（x）在（-2，-1）上單調遞減，在（-1，2）上單調遞增，
又f（2）=22+d＞f（-2）=2-d，
∴f（x）_max=22+d=20，
∴d=-2，
∴f（x）=-x³+3x²+9x-2，
∴f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為f（-1）=-7．
分析：（1）根據函數的單調性與導數的關系，令導數f′（x）＞0（或＜0），解不等式即可求出其單調遞增區(qū)間和單調遞減區(qū)間；
（2）根據函數的導數，設出函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，求導，利用對應系數相等，求得a=-1，b=3，c=9，根據（1）可知函數在區(qū)間[-2，2]上的單調性，從而根據其最大值求出d的值，求出其最小值，
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和閉區(qū)間上函數的最值問題，根據函數的導數求出函數的解析式是解題的關鍵，增加了題目的難度，考查運算能力和逆向思維能力，屬中檔題．