Question

定義函數(shù)(為定義域)圖像上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為函數(shù)的的模.若模存在最大值，則稱之為函數(shù)的長距；若模存在最小值，則稱之為函數(shù)的短距.
(1)分別判斷函數(shù)與是否存在長距與短距，若存在，請求出;
(2)求證：指數(shù)函數(shù)的短距小于1;
(3)對于任意是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的短距不小于2，若存在，請求出的取值范圍；不存在，則說明理由？

Answer 1

（1）短距為，長距不存在，短距為，長距為5；（2）證明見解析；（3）.

試題分析：本題屬于新定義概念，問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)圖象上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值和最小值（如有的話）,正面討論時(shí)我們把距離表示為的函數(shù).（1）對，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），因此存在短距為，不存在長距，對，
，，即有最大值也有最小值，因此短距和長距都有；（2）對函數(shù)，，由于，因此短距不大于1，令，則有，故當(dāng)時(shí)，存在使得 ，當(dāng)時(shí)，存在使得 ，即證；（3）記，按題意條件，則有不等式對恒成立，這類不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，我們可采取分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，按分別討論，由此可求得的范圍.
（1）設(shè)（當(dāng)且僅當(dāng)取得等號）+2分
短距為，長距不存在。    +4分
（2）設(shè)   +6分
        +8分
短距為，長距為5。    +9分
（3）設(shè) 函數(shù)的短距不小于2
即對于始終成立：+10分
當(dāng)時(shí)：對于始終成立    +12分
當(dāng)時(shí)：取即可知顯然不成立           +13分
當(dāng)時(shí)：對于始終成立      +15分
綜上     +16分