Question

設S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若

S2n

Sn

（n∈N^*）是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”．若數(shù)列{C_n}是首項為C₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且數(shù)列{C_n}是“和等比數(shù)列”，則d與C₁的關系式為

d=2C₁

．

Answer 1

分析：根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，先求S_n和S_2n，然后根據(jù)“和等比數(shù)列”的定義，得到

S2n

Sn

為非零常數(shù)，從而得到d與C₁的關系．

解答：解：數(shù)列{C_n}是首項為C₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，
則S_n=nC₁+

n(n-1)

2

d，
S_2n=2nC₁+

2n(2n-1)

2

d，
∵數(shù)列{C_n}是“和等比數(shù)列”，
∴

S2n

Sn

為非零常數(shù)，設

S2n

Sn

=x，（x≠0）
即

2nC1+ 2n(2n-1)d 2

nC1+ n(n-1)d 2

=x，
整理得

4C1+2(2n-1)d

2C1+(n-1)d

=x，
∴4C₁+2（2n-1）d=x[2C₁+（n-1）d]，
即4C₁+4nd-2d=2C₁x+（n-1）xd，
∴4C₁+4nd-2d=2C₁x+nxd-xd，
則

x=4 4C1-2d=2C1x-xd

，
∴

x=4 4C1-2d=8C1-4d

，
即4C₁=2d，
解得d=2C₁．
故答案為：d=2C₁

點評：點評：本題考主要查和等比關系的確定和性質(zhì)，解答的關鍵是正確理解“和等比數(shù)列”的定義，并能根據(jù)定義構(gòu)造出滿足條件的方程．考查學生的運算推導能力．