Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令c_n=

(3n+1)•an

2

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，可求得a₁=S₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，驗(yàn)證a₁=2是否滿足滿足上式即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由于c_n=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，于是T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n），利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，知a₁=2滿足該式
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n…（5分）
（Ⅱ）c_n=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n）…（7分）
令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
則3H_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹②…（9分）
①-②得，-2H_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹
∴H_n=

(2n-1)×3n+1+3

4

，…（11分）
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=

(2n-1)×3n+1+3

4

+

n(n+1)

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法及由等比數(shù)列與等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列的求和，突出錯(cuò)位相減法求和的考查，屬于中檔題．