Question

9．已知函數(shù)f（x）=xlnx-k（x-1），k∈R．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）是否存在正整數(shù)k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將k=1代入f（x），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有1個(gè)零點(diǎn)，得到e^k-1＞1，解出即可；
（3）令g（x）=f（x）+x=xlnx-k（x-1）+x，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，問題轉(zhuǎn)化為需e^k-2≤1，解出即可．

解答 解：（1）k=1時(shí)，f（x）=xlnx-x+1，x＞0，
f′（x）=lnx+1-1=lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）f′（x）=lnx+1-k，
令f′（x）＞0，解得：x＞e^k-1，
令f′（x）＜0，解得：x＜e^k-1，
∴f（x）在（0，e^k-1）遞減，在（e^k-1，+∞）遞增，
而f（1）=0，
∴只需e^k-1＞1，解得：k＞1；
（3）令g（x）=f（x）+x=xlnx-k（x-1）+x，
g′（x）=lnx+2-k，
令g′（x）＞0，解得：x＞e^k-2，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e^k-2，
∴g（x）在（0，e^k-2）遞減，在（e^k-2，+∞）遞增，
∴只需e^k-2≤1，即k-2≤0，解得：k≤2，
故存在正整數(shù)k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，
k的最大值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察函數(shù)的單調(diào)性問題，考察轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．