Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），若M是曲線C₁上的一點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C₂上任一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OP}$=3$\overrightarrow{OM}$．
（1）試求曲線C₂的普通方程；
（2）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線l：ρsinθ-ρcosθ-7=0，在直線l上兩動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，滿足|EF|=4$\sqrt{2}$，試求△MEF的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接結(jié)合圓的參數(shù)方程化為普通方程，然后，結(jié)合向量關(guān)系，確定令一曲線的普通方程即可；
（2）首先，將所給的直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，確定其最大值即可．

解答 解：（1）根據(jù)曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），得
（x-1）²+（y-2）²=2，
設(shè)M（x₀，y₀），點(diǎn)P（x，y），則
（x₀-1）²+（y₀-2）²=2，
$\overrightarrow{OP}$=（x，y），$\overrightarrow{OM}$=（x₀，y₀），
∵$\overrightarrow{OP}$=3$\overrightarrow{OM}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}_{0}}\\{y=3{y}_{0}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{x}{3}}\\{{y}_{0}=\frac{y}{3}}\end{array}\right.$，
∴（x-3）²+（y-6）²=18，
∴曲線C₂的普通方程：（x-3）²+（y-6）²=18，
（2）根據(jù)直線l：ρsinθ-ρcosθ-7=0，得
x-y+7=0，
∵S_△MEF=$\frac{1}{2}$|EF|×d（d為M到直線EF的距離），
d的最大值為$\sqrt{2}$+$\frac{|1-2+7|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
此時(shí)（S_△MEF）max=$\frac{1}{2}$|EF|×d=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=16．
∴△MEF的最大值16．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了直線的極坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓的參數(shù)方程等知識(shí)，屬于中檔題．