(2007•上海模擬)設z=x+yi(x,y∈R),i是虛數(shù)單位,滿足4≤z+
64z
≤10

(1)求證:y=0時滿足不等式的復數(shù)不存在.
(2)求出復數(shù)z對應復平面上的軌跡.
分析:(1)當y=0時,z=x≠0,則4≤x+
64
x
≤10⇒
x+
64
x
≥4
x+
64
x
≤10
x2-4x+64
x
≥0
x2-10x+64
x
≤0
,由
x2-4x+64
x
≥0
,因為x2-4x+64>0,則x>0.由此能夠證明滿足不等式的復數(shù)不存在.
(2)4≤x+yi+
64(x-yi)
x2+y2
≤10
,由題知:z+
64
z
必為實數(shù).所以:
y-
64y
x2+y2
=0
4≤x+
64x
x2+y2
≤10
y=0(舍)或x2+y2=64,2≤x≤5.由此能求出z所對應的軌跡.
解答:解:(1)證明:當y=0時,z=x≠0…(2分)
4≤x+
64
x
≤10⇒
x+
64
x
≥4
x+
64
x
≤10
x2-4x+64
x
≥0
x2-10x+64
x
≤0
…(4分)
x2-4x+64
x
≥0
,因為x2-4x+64>0,則x>0
x2-10x+64
x
≤0
,因為x2-10x+64>0,則x<0
所以不等式無解,滿足不等式的復數(shù)不存在.…(7分)
(2)解:4≤x+yi+
64(x-yi)
x2+y2
≤10
,由題知:z+
64
z
必為實數(shù)…(9分)
所以:
y-
64y
x2+y2
=0
4≤x+
64x
x2+y2
≤10
y=0(舍)或x2+y2=64,2≤x≤5…(12分)
所以z所對應的軌跡是以原點為圓心,以8為半徑的圓。14分)
點評:本題考查復數(shù)的代數(shù)式表示法及其向何意義,解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉化.
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