Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點到右頂點的距離為2，左焦點為F（-$\sqrt{2}$，0），過點D（0，3）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及k的取值范圍；
（2）在y軸上是否存在定點E，使$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$恒為定值？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a²+b²=4，c=$\sqrt{2}$得a²，b²，設(shè)直線l：y=kx+3．把y=kx+3b²=1代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，消去y得（1+3k²）x²+18kx+24=0．則△=（18k）²-4×24（1+3k²）＞0，得k的取值范圍；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{18k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}$，又y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=$\frac{-3{k}^{2}+9}{3{k}^{2}+1}$，y₁+y₂=（kx₁+3）+（kx₂+3）=$\frac{6}{3{k}^{2}+1}$．假設(shè)存在點E（0，m），則$\overrightarrow{AE}=（-{x}_{1}，m-{y}_{1}），\overrightarrow{BE}=（-{x}_{2}，m-{y}_{2}）$，
⇒$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}$═x₁x₂+m²-m（y₁+y_2^）+y₁y=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}+{m}^{2}-\frac{6{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}+\frac{-3{k}^{2}+9}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{（3{m}^{2}-3）{k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{1+3{k}^{2}}$要使得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}=t$（t為常數(shù)），只要$\frac{（3{m}^{2}-3）{k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{3{k}^{2}+1}=t$，從而$\frac{3{m}^{2}-3}{3}=\frac{{m}^{2}-6m+33}{1}$，解得m

解答 解：（1）由已知可得a²+b²=4，c=$\sqrt{2}$得a²=3，b²=1，$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
過點D（0，3）且斜率0為k的直線l：y=kx+3．
把y=kx+3b²=1代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，消去y得（1+3k²）x²+18kx+24=0．
則△=（18k）²-4×24（1+3k²）＞0
k＞$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或k＜-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
所以k的取值范圍是（-∞，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}）$∪（$\frac{2\sqrt{6}}{3}，+∞）$．…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{18k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}$，又y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=$\frac{-3{k}^{2}+9}{3{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=（kx₁+3）+（kx₂+3）=$\frac{6}{3{k}^{2}+1}$．…（6分）
假設(shè)存在點E（0，m），則$\overrightarrow{AE}=（-{x}_{1}，m-{y}_{1}），\overrightarrow{BE}=（-{x}_{2}，m-{y}_{2}）$，
所以$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}$═x₁x₂+m²-m（y₁+y_2^）+y₁y=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}+{m}^{2}-\frac{6{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}+\frac{-3{k}^{2}+9}{1+3{k}^{2}}$
=$\frac{（3{m}^{2}-3）{k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{1+3{k}^{2}}$，…（8分）
要使得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}=t$（t為常數(shù)），只要$\frac{（3{m}^{2}-3）{k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{3{k}^{2}+1}=t$，
從而$\frac{3{m}^{2}-3}{3}=\frac{{m}^{2}-6m+33}{1}$，
整理得6m=34，
解得m=$\frac{17}{3}$，從而t=$\frac{280}{9}$，
故存在定點E（0，$\frac{17}{3}$）．…（12分）

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，及定點問題，屬于壓軸題．