Question

15．已知紙片Rt△ABC中，AB=AC=1，過(guò)頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸）使AD垂直于桌面，且二面角B-AD-C為直二面角．
（1）求V_D-ABC；
（2）求四面體D-ABC的表面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線(xiàn)面垂直及直二面角可得D為BC中點(diǎn)，且BD⊥CD，利用直角三角形的性質(zhì)求出AD，BD，CD，得出棱錐的底面積和高；
（2）四面體的三個(gè)面為到腰直角三角形，一個(gè)面為正三角形，分別求出每個(gè)面的面積即可．

解答 解：（1）∵AD⊥平面BCD，BD?平面BCD，CD?平面BCD，
∴AD⊥BD，AD⊥CD，
∵Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠BDC為直二面角B-AD-C的平面角，即BD⊥CD．
∴V_D-ABC=V_A-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$．
（2）∵AD，BD，CD兩兩垂直，且AD=BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△ABD=S_△BCD=S_△ACD=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$．
AB=BC=AC=1．
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴四面體D-ABC的表面積S=S_△ABD+S_△BCD+S_△ACD+S_△ABC=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的體積與表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．