Question

（2006•寶山區(qū)二模）已知S_n是各項(xiàng)均為正數(shù)的遞減等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和，且a2=

1

2

，S3=

7

4

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)y=f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=log₂（x+1），求f（x）的定義域D及其解析式；
（3）對(duì)任意正整數(shù)n和（2）中的f（x），若不等式f（x）+a_n＜0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)公比為q，由題意可列方程組，解出后根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得a_n；
（2）由x≤0時(shí)，x+1＞0，可得x的范圍，再根據(jù)偶函數(shù)定義域的對(duì)稱性特點(diǎn)可求得D；
（3）由{a_n}是遞減數(shù)列可求得數(shù)列最大項(xiàng)a₁=1，因而，若f（x）+a_n＜0恒成立，則有f（x）+1＜0恒成立，分x≤0，x＞0兩種情況進(jìn)行討論可求得x的范圍．

解答：解：（1）設(shè)公比為q，
由題意得，

a1q= 1 2 a1(1-q3) 1-q = 7 4

，

a1=1 q= 1 2

或

a1= 1 4 q=2

（舍），
∴an=(

1

2

)n-1；
（2）由題意，當(dāng)x≤0時(shí)，x+1＞0，即x＞-1，
又因?yàn)閥=f（x）是偶函數(shù)，
所以D=（-1，1），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，-1＜-x＜0，則f（-x）=log₂（1-x），
又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=log₂（1-x），
∴f(x)=

log2(1-x)，0＜x＜1 log2(1+x)，-1＜x≤0

；
（3）由（1）知{a_n}是遞減數(shù)列，最大項(xiàng)為a₁=1，
因而，若f（x）+a_n＜0恒成立，則有f（x）+1＜0恒成立．
①當(dāng)x≤0時(shí)，由log₂（x+1）+1＜0，解得-1＜x＜-

1

2

；
②當(dāng)x＞0時(shí)，由log₂（1-x）+1＜0，解得

1

2

＜x＜1；
綜上，當(dāng)x∈(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)時(shí)，f（x）+a_n＜0恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．