【題目】已知橢圓E:=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.
(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l'平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線l交于點(diǎn)P,證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.
【答案】(1)=1,點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1);(2)存在常數(shù)λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
【解析】試題分析:
(1)由題意得橢圓E中a=b,故橢圓E的方程為=1.把y=-x+3與橢圓E的方程聯(lián)立消元后得到二次方程,由直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)得到方程的判別式為0,可得b2=3,且得到方程的解為x=2,進(jìn)而得到點(diǎn)T的坐標(biāo).(2)設(shè)直線l'的方程為y=x+m,并求出直線l'與直線l的交點(diǎn)P,可得;再根據(jù)直線l'與橢圓的方程可得|PA|=,|PB|=,計(jì)算可得|PA|·|PB|=m2,比較可得存在常數(shù)λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
試題解析:
(1)∵橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),
∴a=b,
∴橢圓E的方程為=1.
由消去y整理得3x212x+(182b2)=0. ①
方程①的判別式為Δ=24(b23),
由Δ=0,得b2=3,
此時(shí)方程①的解為x=2,
∴橢圓E的方程為=1,點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1).
(2)由已知可設(shè)直線l'的方程為y=x+m(m≠0),
由方程組可得
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為,
∴.
由消去y整理得3x2+4mx+(4m212)=0. ②
方程②的判別式為Δ=16(92m2).
由Δ>0,得<m<.
設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).
則x1+x2=,x1x2=.
∴|PA|==,
同理|PB|=.
∴|PA|·|PB|==
=m2.
由|PT|2=λ|PA|·|PB|可得λ=.
∴存在常數(shù)λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,.
(1)求證:;
(2)若分別為的中點(diǎn),平面,求直線與平面所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線和直線的普通方程;
(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最值.
【答案】(1), ;(2)最大值為,最小值為
【解析】試題分析:(1)根據(jù)參數(shù)方程和極坐標(biāo)化普通方程化法即易得結(jié)論的普通方程為;直線的普通方程為.(2)求點(diǎn)到線距離問題可借助參數(shù)方程,利用三角函數(shù)最值法求解即可故設(shè), .即可得出最值
解析:(1)根據(jù)題意,由,得, ,
由,得,
故的普通方程為;
由及, 得,
故直線的普通方程為.
(2)由于為曲線上任意一點(diǎn),設(shè),
由點(diǎn)到直線的距離公式得,點(diǎn)到直線的距離為
.
∵ ,
∴ ,即 ,
故點(diǎn)到直線的距離的最大值為,最小值為.
點(diǎn)睛:首先要熟悉參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化普通方程的方法,第一問基本屬于送分題所以務(wù)必抓住,對(duì)于第二問可以總結(jié)為一類題型,借助參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)的方便轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題求解
【題型】解答題
【結(jié)束】
23
【題目】已知函數(shù),.
(1)解關(guān)于的不等式;
(2)若函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)不在軸上,直線、的斜率之積.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)經(jīng)過點(diǎn)的兩直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡分別相交于、兩點(diǎn)。是否存在常數(shù),使得任意滿足的直線恒過線段的中點(diǎn)?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如下圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中,且為常數(shù)).
(1)若對(duì)于任意的,都有成立,求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn),關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,曲線上任意一點(diǎn)滿足;直線和直線的斜率之積為.
(1)求曲線的方程;
(2)過且斜率為正數(shù)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),其中點(diǎn)在軸上方,與曲線交于點(diǎn),若的面積為的面積為,當(dāng)時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知角始邊與軸的非負(fù)半軸重合,與圓相交于點(diǎn),終邊與圓相交于點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為, 的面積為,函數(shù)的圖象大致是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C2的極坐標(biāo)方程為.
(1)將圓C1的參數(shù)方程化為普通方程,將圓C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)圓C1、C2是否相交,若相交,請(qǐng)求出公共弦的長(zhǎng);若不相交,請(qǐng)說明理由.
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