Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{m{x^2}+ax}}{{1+{x^2}}}$是奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）若f（x）=$\frac{{m{x^2}+ax}}{{1+{x^2}}}$在（1，+∞）上遞減，根據單調性的定義求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數(shù)奇偶性的定義求出m的值即可；（2）根據函數(shù)單調性的定義求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=\frac{{m{x^2}+ax}}{{{x^2}+1}}$是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）．-------------------------------（2分）
∴$\frac{{m{x^2}-ax}}{{{x^2}+1}}=-\frac{{m{x^2}+ax}}{{{x^2}+1}}$，得m=0．-----------------（6分）
（2）∵$f（x）=\frac{ax}{{1+{x^2}}}$在（1，+∞）上遞減
∴任給實數(shù)x₁，x₂，當1＜x₁＜x₂時f（x₁）＞f（x₂）---------（7分）
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{a{x_1}}}{{1+{x_1}^2}}-\frac{{a{x_2}}}{{1+{x_2}^2}}=\frac{{a（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{（1+{x_1}^2）（1+{x_2}^2）}}＞0-----（10分）$
∴a＜0------------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、奇偶性問題，是一道中檔題．