Question

如圖，在正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E，F(xiàn)分別為A₁D與D₁C的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）證明：DD₁⊥EF．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證明出EF∥AC，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明出EF∥平面ABCD  
（Ⅱ）利用DD₁⊥平面ABCD，可得DD₁⊥AC，利用EF∥AC得證．

解答： 證明：（Ⅰ）連接AD₁，AC，∵E是A₁D的中點(diǎn)，∴E也是AD₁的中點(diǎn)，
又F是D₁C的中點(diǎn)，∴EF是△ACD₁的中位線，
∴EF∥AC，…（3分）
又EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，…（8分）
又EF∥AC，∴DD₁⊥EF．  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定、性質(zhì)定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生空間觀察能力和推理能力．