Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且2a₂+2=a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差，由題意求得公差，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入b_n=

1

anan+1

，然后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
由a₁=1，且2a₂+2=a₄，得2（1+d）+2=1+3d，
解得：d=3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）由b_n=

1

anan+1

，得
bn=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

3

(

1

1

-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

)
=

1

3

(1-

1

3n+1

)=

n

3n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．