Question

17．已知函數(shù)f（x）=|2x+a|-|x-2|．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若存在實數(shù)x使f（x）≥|x-2|+3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=1代入f（x）得到：|2x+1|-|x-2|＜2，通過討論x的范圍去掉絕對值號，解出不等式即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為|2x+a|-2|x-2|≥3成立，即|a+4|≥3成立，解出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=|2x+1|-|x-2|＜2，
x≥2時，2x+1-x+2＜2，解得：x＜-1，不合題意，
-$\frac{1}{2}$＜x＜2時，2x+1+x-2＜2，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜1，
x≤-$\frac{1}{2}$時，-2x-1+x-2＜2，解得：-5＜x≤-$\frac{1}{2}$，
綜上，不等式的解集是：{x|-5＜x＜1}；
（Ⅱ）f（x）≥|x-2|+3成立，
即|2x+a|-2|x-2|≥3成立，
即|2x+a-2x+4|≥3成立，
即|a+4|≥3成立，
解得：a≥-1或a≤-7．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．