Question

20．已知$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，若$\overrightarrow a-\overrightarrow c$與$\overrightarrow b-\overrightarrow c$的夾角為60°，則$|{\overrightarrow c}|$的最大值為$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積公式得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=60°，以∠AOB的角平分線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算求出C點的軌跡方程$（x-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}=1$，求圓上點到原點的最大距離得到$|{\overrightarrow c}|$的最大值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=1，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=60°，
設$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，
以∠AOB的角平分線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，
則A（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$），B（$\sqrt{3}$，-1），設C（x，y），
cos＜$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$＞=$\frac{（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）（x-\sqrt{3}）+（y-\frac{1}{2}）（y+1）}{\sqrt{（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}}•\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y+1）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
整理得$（x-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}=1$，
∴C點的軌跡為圓，圓心坐標為（$\sqrt{3}$，0），
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，其最大值為1+$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}+1$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積公式，向量的坐標運算的應用，應用數(shù)形結(jié)合思想求解是解答本題的通法，是中檔題．