Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點．
（Ⅰ）求證：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為θ，求sinθ的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．
則 ， ， ．
設(shè)平面SCD的法向量是 ，則 ，即
令z=1，則x=2，y=﹣1．于是 ．
∵ ，∴ ．
又∵AM平面SCD，∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量為 ．設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，
則 = = ，即 ．
∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為 ．
（Ⅲ）設(shè)N（x，2x﹣2，0），則 ．
∴ = = = ．
當(dāng) ，即 時， ．
【解析】（Ⅰ）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面SCD的法向量 即可證明AM∥平面SCD；（Ⅱ）分別求出平面SCD與平面SAB的法向量，利用法向量的夾角即可得出；（Ⅲ）利用線面角的夾角公式即可得出表達式，進而利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．