Question

3．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，f（1）=1，且對(duì)任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，則f（2015）+f（2016）=-1．

Answer 1

分析 求出f（3）=0，可得f（x）是以6為周期的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x+6）=f（x）+f（3）中，
∴令x=-3，得f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0．
又f（x）是R上的奇函數(shù)，故f（-3）=-f（3）=0．f（0）=0，
∴f（3）=0，
故f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6為周期的周期函數(shù)，
從而f（2015）=f（6×336-1）=f（-1）=-f（1）=-1．
f（2016）=f（6×336）=f（0）=0．
故f（2015）+f（2016）=-1+0=-1，
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算以及奇函數(shù)、周期函數(shù)的應(yīng)用，確定f（x）是以6為周期的周期函數(shù)是關(guān)鍵．