Question

12．設(shè)Sn是整數(shù)組成的數(shù)列{a_n}的前n項和，且$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=a_n+2（n∈N^*），又數(shù)列{b_n}是a₁為首項，公比為a₂-a₁的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_n+$\frac{24}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的最小項．

Answer 1

分析 （1）運用n=1時，S₁=a₁，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2+2（n-1）=2n，再由等比數(shù)列的通項公式，即可得到b_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）求得c_n=a_n+$\frac{24}{_{n}}$=2n+$\frac{24}{{2}^{n}}$，再作差，可得c_n+1-c_n=2-$\frac{12}{{2}^{n}}$，解不等式可得數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，進而得到最小值．

解答 解：（1）由$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=a_n+2，可得n=1時，4S₁=a₁（a₁+2）=4a₁，
解得a₁=2；
由4S_n=a_n²+2a_n，可得4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1，n＞1．
兩式相減可得，4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，
即為（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
由題意可得a_n-a_n-1=2，
即有a_n=2+2（n-1）=2n，
數(shù)列{b_n}是a₁為首項，公比為a₂-a₁的等比數(shù)列，
可得b_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）c_n=a_n+$\frac{24}{_{n}}$=2n+$\frac{24}{{2}^{n}}$，
由c_n+1-c_n=2n+2+$\frac{24}{{2}^{n+1}}$-2n-$\frac{24}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{12}{{2}^{n}}$，
當n=1，2時，c_n+1-c_n＜0；
當n≥3時，c_n+1-c_n＞0．
即有c₁＞c₂＞c₃＜c₄＜c₅＜…，
可得c₃取得最小值，且為6+$\frac{24}{8}$=9．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用下標變換相減法，考查等比數(shù)列的通項公式，同時考查數(shù)列的單調(diào)性的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．