Question

1．${（{x+2\sqrt{x}+1}）^4}$的展開(kāi)式中，x³的系數(shù)是28．（用數(shù)字填寫(xiě)答案）

Answer 1

分析 根據(jù)${（{x+2\sqrt{x}+1}）^4}$表示4個(gè)因式$（{x+2\sqrt{x}+1}）$的乘積，利用組合的知識(shí)，分類(lèi)討論，求得x³的系數(shù)．

解答 解：∵${（{x+2\sqrt{x}+1}）^4}$表示4個(gè)因式$（{x+2\sqrt{x}+1}）$的乘積，
x³的系數(shù)可以是：從4個(gè)因式中選三個(gè)因式提供x，另一個(gè)因式中有一個(gè)提供1；
也可以是從3個(gè)因式中選兩個(gè)因式都提供x，其余的兩個(gè)提供$2\sqrt{x}$，可得x³的系數(shù)，
故x³的系數(shù)為：$C_4^3+C_4^2•{2^2}=28$，
故答案為：28．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式表示的意義，屬于基礎(chǔ)題．