Question

12．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²在定義域內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=lnx+1和y=ax有交點(diǎn)，通過(guò)討論a的范圍，求出滿足條件的a的具體范圍即可．

解答 解：f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²的定義域是（0，+∞），
f′（x）=lnx-ax+1，
若函數(shù)f（x）有極值，則f′（x）=lnx-ax+1有解，
即y=lnx+1和y=ax有交點(diǎn)，
①a＜0時(shí)，顯然有解，
②a＞0時(shí)，設(shè)y=lnx+1和y=ax相切的切點(diǎn)是（x₀，lnx₀+1），
∴切線方程是：y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x，故lnx₀+1=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x₀，
解得：x₀=1，
∴y=lnx+1和y=ax相切時(shí)，a=1，
若y=lnx和y=ax有交點(diǎn)，只需a＜1，
綜上：a＜1，
故答案為：（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．