Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2）單調(diào)遞減．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若A（x₀，f（x₀））在函數(shù)f（x）的圖象上，求證點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)f（x）的圖象上；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx²-1的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的值；若不存在，試說明理由

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞增，
在區(qū)間[1，2）單調(diào)遞減，所以x=1時(shí)，取得極大值．
所以f'（1）=0．（2分）
因?yàn)閒'（x）=4x³-12x²+2ax，
所以4-12+2a=0．解得a=4．（4分）
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)A（x₀，f（x₀））關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2-x₀，f（x₀）），
且f（2-x₀）=（2-x₀）⁴-4（2-x₀）³+4（2-x₀）²-1x₀⁴-4x₀³+4x₀²-1=f（x₀）．（8分）
所以點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)f（x）的圖象上．
（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=bx²=bx²-1的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，
等價(jià)于方程x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1恰有3個(gè)不等實(shí)根．
由x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1得x⁴-4x³+（4-b）x²=0．
因?yàn)閤=0是其中一個(gè)根，
所以方程x⁴-4x³+（4-b）x²=0有2個(gè)非零且不等的實(shí)數(shù)根．（12分）
故由（14分）
分析：（Ⅰ）由f（x）在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2）單調(diào)遞減，得到在x=1處取得極大值即f'（1）=0．從而求解．
（Ⅱ）先求點(diǎn)A（x₀，f（x₀））關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)驗(yàn)證即可．
（Ⅲ）函數(shù)g（x）=bx²=bx²-1的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1恰有3個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為x⁴-4x³+（4-b）x²=0有三個(gè)根求解，要注意0是其中一根則轉(zhuǎn)化為方程x⁴-4x³+（4-b）x²=0有2個(gè)非零且不等的實(shí)數(shù)根求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用極值求參數(shù)的值，要明確單調(diào)性，同時(shí)還考查了方程根的問題，一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來解決．