Question

在圓x²+y²=5x內(nèi)，過點(diǎn)(

5

2

，

3

2

)有n（n∈N^*）條弦，它們的長構(gòu)成等差數(shù)列，若a₁為過該點(diǎn)的最短弦的長，a_n為過該點(diǎn)的最長弦的長，公差d∈(

1

5

，

1

3

)，那么n的值是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：根據(jù)圓的性質(zhì)可得過點(diǎn)(

5

2

，

3

2

)的最短弦即為與圓心和此點(diǎn)的連線垂直的弦并且這個(gè)弦長可由勾股定理求出，而過點(diǎn)(

5

2

，

3

2

)的最長弦即為圓的直徑，然后再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和公差的范圍求出n的范圍即可得解．

解答：解：∵x²+y²=5x
∴(x-

5

2

)2+y2=

25

4

∴過點(diǎn)(

5

2

，

3

2

)的最短弦即為與圓心和此點(diǎn)的連線垂直的弦有勾股定理可得a₁=2

( 5 2 )2- ( 3 2 )2

=4
過點(diǎn)(

5

2

，

3

2

)的最長弦即為圓的直徑即a_n=5
∴a_n=a₁+（n-1）d
∴d=

1

n-1

∵d∈( 

1

5

，

1

3

)
∴

1

5

＜

1

n-1

＜

1

3

∴4＜n＜6
∵n∈N₊
∴n=5
故選D

點(diǎn)評：此題主要是對數(shù)列與圓的綜合問題的考查．解題的關(guān)鍵是要分析出最短和最長的弦長然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式再結(jié)合公差d的范圍求出n的值！