已知函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)上是減函數(shù),求實數(shù)的最小值;
(III)若,使成立,求實數(shù)的取值范圍.
(I) (II) (III)
解析試題分析:由已知函數(shù)的定義域均為,且.
(Ⅰ)函數(shù),
當時,.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是. 3分
(Ⅱ)因f(x)在上為減函數(shù),故在上恒成立.
所以當時,.
又,
故當,即時,,所以,故
所以的最小值為.
(Ⅲ)“若,使成立”等價于
“當時,有”,
有(Ⅱ),當時,有,,
問題等價于:“當時,有”
當時,由(Ⅱ),在上為減函數(shù).
則,故.
當時,由于在上為增函數(shù),
故的值域為,即.
由的單調(diào)性和值域知,唯一,使,且滿足:
當時,,為減函數(shù);
當時,,為增函數(shù);
所以,=,.
所以,,與矛盾,不合題意.
綜上,.
考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查恒成立問題,同時考查不等式的證明,解題的關鍵是正確求導數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中為常數(shù),設為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當時,求的最大值;
(2)若在區(qū)間上的最大值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù),且滿足
(1)求函數(shù)的周期;
(2)已知當時,.求使方程在上有兩個不相等實根的的取值集合M.
(3)記,表示使方程在上有兩個不相等實根的的取值集合,求集合.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x|x-a|-lnx,a∈R.
(Ⅰ)若a=1,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;
(Ⅱ)若f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)證明:對于一切的實數(shù)x都有f(x)x;
(2)若函數(shù)存在兩個零點,求a的取值范圍
(3)證明:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
若函數(shù)都在區(qū)間上有定義,對任意,都有成立,則稱函數(shù)為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”
(1)若為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”,求的范圍。
(2)判斷是否為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”?
(3)若為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”,求的取值范圍
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