Question

已知函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0），若f（x）在[s，t]上的值域也是[s，t]（s≠t），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：易知函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

在（0，+∞）上增函數(shù)，則由題意可得s，t是方程ax²-x+a=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，由韋達(dá)定理可解得．

解答： 解：∵a＞0，x＞0，
∴易知函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

在（0，+∞）上增函數(shù)，
又∵f（x）在[s，t]上的值域也是[s，t]（s≠t），
∴

1

a

-

1

s

=s，

1

a

-

1

t

=t；
則s，t是方程ax²-x+a=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，
則△=1-4a²＞0，
則-

1

2

＜a＜

1

2

，
又∵a＞0．
∴0＜a＜

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的值域的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．