Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x的圖象與直線y=5-x交點的橫為x₁、x₂，函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的圖象與直線y=5-x交點的橫為x₃、x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄的值為10．

Answer 1

分析 x₁、x₂是（$\frac{1}{3}$）^x=5-x的兩個根，得到x₁=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，x₂=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，再根據(jù)f（x）與g（x）互為反函數(shù)得到x₃=y₂=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，x₄=y₁=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，問題得以解決．

解答 解：函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x的圖象與直線y=5-x交點的橫為x₁、x₂，
∴x₁、x₂是（$\frac{1}{3}$）^x=5-x的兩個根，
∴x₁=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，x₂=5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，
∵f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x的圖象與g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x關(guān)于y=x對稱，
∴x₃=y₂=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$，x₄=y₁=$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$，
∴x₁+x₂+x₃+x₄═5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$+5-$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$+$（\frac{1}{3}）^{{x}_{2}}$+$（\frac{1}{3}）^{{x}_{1}}$=10．
故答案為：10．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及方程的根的問題，關(guān)鍵是f（x）與g（x）互為反函數(shù)，屬于中檔題．