Question

對函數(shù)f（x）=x•sinx，現(xiàn)有下列命題：
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
③點（π，0）是函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-

π

2

，0]上單調(diào)遞減．其中是真命題的是（　�。�

A．①④

B．②④

C．②③

D．①③

Answer 1

對于①，因為f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），f（x）是偶函數(shù)，故①正確；
對于②，因為f（

π

2

）=

π

2

，f（

5π

2

）=

5π

2

，而f（

π

2

）≠f（

5π

2

），所以函數(shù)的周期不是2π，故②不正確；
對于③，設(shè)f（x+π）=（x+π）sin（x+π）=g（x），則g（x）=-（x+π）sinx，g（-x）=（-x+π）sinx，不滿足g（-x）=-g（x），
所以g（x）不是奇函數(shù)．因為g（x）圖象不關(guān)于原點對稱，所以f（x）的圖象不可能關(guān)于（π，0）對稱，故③不正確；
對于④，因為f'（x）=sinx+xcosx，當x∈[0，

π

2

]時，f'（x）≥0，所以f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，
再結(jié)合函數(shù)為R上的偶函數(shù)，可得在區(qū)間[-

π

2

，0]上單調(diào)遞減，故④正確．
綜上所述，正確的命題是①④
故選A