Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2bx的圖象在點(diǎn)O（0，0）處的切線l與直線x-y+3=0平行，若數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₄=（　�。�

• A、

  2012

  2013

• B、

  2013

  2014

• C、

  2014

  2015

• D、

  2015

  2016

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線在x=0處的斜率，然后根據(jù)直線平行時斜率相等的條件可求b，代入可求f（n），利用裂項求和即可求．

解答： 解：∵f（x）=x²+2bx，
∴f′（x）=2x+2b，
∵函數(shù)f（x）=x²+2bx的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線L與直線x-y+3=0平行，
∴f′（0）=2b=1，解得b=

1

2

，
∴f（x）=x²+x，
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項和為S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴S₂₀₁₄=

2014

2015

．
故選：C．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義為載體，主要考查了切線斜率的求解，兩直線平行時的斜率關(guān)系的應(yīng)用，及裂項求和方法的應(yīng)用．