Question

16．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示．
（]）求f（x）其解析式；
（2）求f（x）的對稱中心；
（3）方程f（x）-m=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖象可得A值，由周期公式可得ω，代入（$\frac{π}{12}$，2）可得φ值，可得解析式；
（2）解2x+$\frac{π}{3}$=kπ可得對稱中心坐標(biāo)；
（3）問題等價于y=m和y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同交點，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：（1）由圖象可得A=2，周期T=$\frac{2π}{ω}$=2（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$），解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）代入（$\frac{π}{12}$，2）可得2=2sin（$\frac{π}{6}$+φ），
結(jié)合0＜φ＜$\frac{π}{2}$可得φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ可解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$（k∈Z），故對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
（3）∵方程f（x）-m=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個解，
∴m=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個解，
∴y=m和y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同交點，
作出函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的圖象，
當(dāng)x=0時，sin（2x+$\frac{π}{3}$）取最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時，sin（2x+$\frac{π}{3}$）取最大值1，
數(shù)形結(jié)合可得m的范圍為[$\sqrt{3}$，2）．

點評 本題考查三角函數(shù)圖象和解析式，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．