Question

5．下列不等式一定成立的是（　�。�
①lg（x²+$\frac{1}{4}$）≥lg x（x＞0）；�、趕in x+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠kπ，k∈Z）；
③x²+1≥2|x|（x∈R）；　�、�$\frac{1}{{x}^{2}+1}$＞1（x∈R）．

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的規(guī)則，逐個選項驗證可得．

解答 解：①當(dāng)x＞0時，由基本不等式可得x²+$\frac{1}{4}$≥2•x•$\frac{1}{2}$=x，
∴l(xiāng)g（x²+$\frac{1}{4}$）≥lgx，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時取等號，故正確；
②sinx可以為負值，故sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2錯誤；
③由基本不等式可得x²+1=|x|²+1≥2|x|，當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1時取等號，故正確；
④舉反例，當(dāng)x=0時，可得$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1，故錯誤．
故選：C．

點評 本題考查基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．