Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）計算a₂，a₃，a₄的值，猜想數列{a_n}的通項公式，并用數學歸納法證明；
（2）若p，q，r是三個互不相等的正整數，且p，q，r成等差數列，試判斷a_p，a_q，a_r是否成等比數列？并說明理由．

Answer 1

考點：數學歸納法,歸納推理

專題：等差數列與等比數列,推理和證明

分析：（1）利用已知條件通過n=1，2，3，直接計算a₂，a₃，a₄的值，根據計算結果，猜想的通{a_n}項公式，用數學歸納法的證明步驟直接證明即可．
（2）p，q，r成等差數列⇒p+r=2q，假設a_p，a_q，a_r成等比數列，可由a_p•a_r=a_q²⇒2^p+2^r=2×2^q．（*）利用基本不等式 可得2^p+2^r＞2

2p×2q

=2×2^q，這與（*）式矛盾，從而可得a_p，a_q，a_r不是等比數列．

解答： 解：（1）由已知a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
可得，n=1時，a₂=2+1=3；
n=2時，a₃=6+1=7；
n=3時，a₄=14+1=15．…（3分）
…
由此猜想 a_n=2ⁿ-1．…（4分）
證明：①當n=1時，由已知，a₁=2¹-1=1，滿足條件．
…（6分）
②假設當n=k（k∈N^*）時猜想成立，即a_k=2^k-1．…（7分）
則n=k+1時，
a_k+1=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1．
所以 當n=k+1時，猜想也成立．
根據①和②，可知猜想對于任何n∈N^*都成立．…（9分）
（2）解：∵p，q，r成等差數列，
∴p+r=2q．
假設a_p，a_q，a_r成等比數列，
則a_p•a_r=a_q²，…（10分）
即（2^p-1）（2^r-1）=（2^q-1）²，
化簡得：2^p+2^r=2×2^q．（*）        …（11分）
∵p≠r，
∴2^p+2^r＞2

2p×2q

=2×2^q，
這與（*）式矛盾，故假設不成立．…（13分）
∴a_p，a_q，a_r不是等比數列．…（14分）

點評：本題主要考查等比數列的通項公式、數列的前n項和等基礎知識，考查合情推理、化歸與轉化、特殊與一般的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，屬于難題．