Question

11．已知對(duì)稱中心在原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x²+y²-2$\sqrt{2}$x=0的圓心重合，且橢圓過點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)P（0，1）的直線與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），先求出c=$\sqrt{2}$，由橢圓過點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），得$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，得$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}=2{x}_{2}}\\{1-{y}_{1}=2（{y}_{2}-1）}\end{array}\right.$，設(shè)直線方程為y=kx+1，代入橢圓，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出△AOB的面積．

解答 解：（1）∵對(duì)稱中心在原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x²+y²-2$\sqrt{2}$x=0的圓心重合，且橢圓過點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），
∴設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），c為半焦距，c=$\sqrt{2}$，
∴a²-b²=2，①
由橢圓過點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），得$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，②
由①②，得a²=4，b²=2，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，得$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}=2{x}_{2}}\\{1-{y}_{1}=2（{y}_{2}-1）}\end{array}\right.$，
設(shè)直線方程為y=kx+1，代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，
解得x=$\frac{-2k±\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$，設(shè)${x}_{1}=\frac{-2k-\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{2}=\frac{-2k+\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$，
則-$\frac{-2k-\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$=2•$\frac{-2k+\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$，解得${k}^{2}=\frac{1}{14}$，
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$|OP|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{126}}{8}$=$\frac{3\sqrt{14}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用．