Question

9．如圖所示，單位位圓上的兩個向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$相互垂直，若向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）=0，則|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍是（　　）

• A． [0，1]
• B． [0，$\sqrt{2}$]
• C． [1，$\sqrt{2}$]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 先由條件可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，這樣便可由$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）=0$得出$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow＞$，從而得出$|\overrightarrow{c}|$的取值范圍．

解答 解：由條件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}=\sqrt{2}$；
∵$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）=0$；
∴${\overrightarrow{c}}^{2}-\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=0$；
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow＞$；
∴$0≤|\overrightarrow{c}|≤\sqrt{2}$；
∴$|\overrightarrow{c}|$的取值范圍為$[0，\sqrt{2}]$．
故選B．

點評 考查向量垂直的充要條件，單位向量的概念，向量數(shù)量積的運算及計算公式．