設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1傾斜角為45°的直線l與該橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=
4
3
a．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，-1）滿足|MP|=|MQ|，求該橢圓的方程．
分析：（1）設(shè)直線l的方程為y=x+c，與橢圓方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得P、Q橫坐標(biāo)之和與橫坐標(biāo)之積關(guān)于a、b、c的式子．再用弦長(zhǎng)公式結(jié)合PQ的長(zhǎng)度為
4a
3
，列出關(guān)于a、b、c的方程，化簡(jiǎn)整理可得a=
2
b，由此不難求出該橢圓的離心率．
（2）根據(jù)|MP|=|MQ|，得M點(diǎn)在PQ的中垂線上，由此結(jié)合（1）中的條件，列出關(guān)于c的方程并解之得c=3，再根據(jù)離心率算出a、b之值，即可得到該橢圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）由直線PQ斜率為1，可設(shè)直線l的方程為y=x+c，其中c=
a2-b2
．…（2分）
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
y=x+c
x2
a2 
+
y2
b2
=1

消去y，整理得（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2-b2）=0，
可得：
x1+x2=
-2a2c
a2+b2
x1x2=
a2(c2-b2)
a2+b2

∵|PQ|=
4
3
a，∴
2
|x1-x2|=
4
3
a
由此可得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(
2
2
3
a)2
即（
-2a2c
a 2+b2
）2-4（
a2(c2-b2)
a 2+b2
）2=
8a2
9
．…（6分）
整理，得a2=2b2，a=
2
b
∴橢圓的離心率e=
c
a
=
a2-b2
a2
=
2
2
．…（8分）
（Ⅱ）設(shè)PQ 中點(diǎn)為N（x0，y0），由（1）知
x0=
x1+x2
2
=
-a2c
a 2+b2
=-
2c
3
，y0=x0+c=
1
3
c．
由|MP|=|MQ|，得MN與直線y=x+c垂直，所以MN的斜率k=-1．…（10分）
∴
y0+1
x0
=-1，即
1
3
c+1
-
2c
3
=-1，解得c=3，從而a=3
2
，b=3．
因此，橢圓的方程為
x2
18
+
y2
9
=1…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與橢圓相交，在已知弦長(zhǎng)的情況下求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的基本概念、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左，右焦點(diǎn)．
（1）當(dāng)P∈C，且
PF1
•
PF
2=0，|PF1|•|PF2|=8時(shí)，求橢圓C的左，右焦點(diǎn)F1、F2．
（2）F1、F2是（1）中的橢圓的左，右焦點(diǎn)，已知⊙F2的半徑是1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)Q的作⊙F2切線QM，使得|QF1|=
2
|QM|（M是切點(diǎn)），如圖．求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
9
+y2=1的左、右焦點(diǎn)．
（I）若M是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求
mF1
•
MF2
的最大值和最小值；
（II）設(shè)過(guò)定點(diǎn)（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為鈍角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
5
+
y2
4
=1的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)F1作直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得
MA
•
MB
為常數(shù)？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1、F2分別是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且斜率為k的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差數(shù)列．
（1）若a=1，求|AB|的值；
（2）若k=1，設(shè)點(diǎn)P（0，-1）滿足|PA|=|PB|，求橢圓E的方程．

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