Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

9

+y2=1的左、右焦點(diǎn)．
（I）若M是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求

mF1

•

MF2

的最大值和最小值；
（II）設(shè)過定點(diǎn)（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為鈍角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由根據(jù)題意建立

MF1

•

MF2

關(guān)于x的函數(shù)，再求最值；
（II）由∠AOB為鈍角，則有

OA

•

OB

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，可整理為

27

1+9k2

+

-9k2+4

1+9k2

＜0再求得k²的范圍．

解答：解：（I）由已知a=3，b=1，c=2

2

，則F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，設(shè)M(x，y)（2分）

MF1

•

MF2

=(-2

2

-x)(2

2

-x)+y2=

8

9

x2-7?x∈[-3，3]（5分）
所以當(dāng)x=0時，

MF1

•

MF2

有最小值為-7；
當(dāng)x=±3時，

MF1

•

MF2

有最大值為1．（7分）
（II）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）直線AB方程：y=kx+2

y=kx+2 x2+9y2=9

?(1+9k2)x2+36kx+27=0，※
有x1+x2=-

36k

1+9k2

，?x1x2=

27

1+9k2

?y1y2=

-9k2+4

1+9k2

（9分）
因為∠AOB為鈍角，
所以

OA

•

OB

＜0，即x1x2+y1y2＜0?

27

1+9k2

+

-9k2+4

1+9k2

＜0（12分）
解得k2＞

31

9

?k＞

31

3

或

31

3

，此時滿足方程※有兩個不等的實根（14分）
故直線l的斜率k的取值范圍k＞

31

3

或k＜-

31

3

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓方程及其性質(zhì)的應(yīng)用及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在構(gòu)造平面圖形解決有關(guān)問題中的應(yīng)用．