Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率e=2，左右焦點分別為F₁、F₂，右頂點為A，若|F₁F₂|=4．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若P是雙曲線上的任意一點，求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用|F₁F₂|=4，雙曲線的離心率為e=2，求出幾何量a，b，即可求雙曲線的標準方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則y₀²=3（x₀²-1），利用數(shù)量積公式求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$，結(jié)合x₀≥1，即可求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，|F₁F₂|=4，雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=2，
∴c=2，a=1，
∴b=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的標準方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則y₀²=3（x₀²-1），
∵A（1，0），F(xiàn)₁（-2，0），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$=（-2-x₀，-y₀）•（1-x₀，-y₀）
=（-2-x₀）（1-x₀）+y₀²=4x₀²+x₀-5，
由雙曲線方程得x₀≥1或x₀≤-1，二次函數(shù)開口向上，對稱軸x=-$\frac{1}{8}$＜1且-$\frac{1}{8}$＞-1，
當x₀=1時，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$取值0，當x₀=-1時，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$取值-2．
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$的取值范圍是[-2，+∞）．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．