Processing math: 0%
20.已知函數(shù)f(x)=\frac{1}{2}sinωx+\sqrt{3}{cos^2}\frac{ωx}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2},ω>0.
(Ⅰ)若ω=1,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若f(\frac{π}{3})=1,求f(x)的最小正周期T的表達(dá)式并指出T的最大值.

分析 (Ⅰ)當(dāng)ω=1時,利用兩角和與差以及二倍角公式化簡函數(shù)的解析式,然后求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)化簡函數(shù)的解析式為:f(x)=sin(ωx+\frac{π}{3}).通過f(\frac{π}{3})=1,求出ω=6n+\frac{1}{2}.然后求解T的最大值.

解答 (本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)當(dāng)ω=1時,f(x)=\frac{1}{2}sinx+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx=sin(x+\frac{π}{3})
2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}{,^{\;}}k∈Z
解得2kπ-\frac{5π}{6}≤x≤2kπ+\frac{π}{6}{,^{\;}}k∈Z
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-\frac{5π}{6},2kπ+\frac{π}{6}],k∈Z.…(7分)
(Ⅱ)由f(x)=\frac{1}{2}sinωx+\sqrt{3}{cos^2}\frac{ωx}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}sinωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosωx=sin(ωx+\frac{π}{3})
因為f(\frac{π}{3})=1,所以sin(\frac{πω}{3}+\frac{π}{3})=1
\frac{πω}{3}+\frac{π}{3}=2nπ+\frac{π}{2},n∈Z.
解得ω=6n+\frac{1}{2}
又因為函數(shù)f(x)的最小正周期T=\frac{2π}{ω},且ω>0,
所以當(dāng)ω=\frac{1}{2}時,T的最大值為4π. …(13分)

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值,二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用,考查計算能力.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

10.已知函數(shù)y=msinx+3cosx(m∈R)的圖象與直線y=n(n為常數(shù))相鄰兩個交點的橫坐標(biāo)為x1=\frac{π}{12},x2=\frac{7π}{12},則m的值為3\sqrt{3},n的值為3\sqrt{2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.\int_0^1{|x-1|}dx=(  )
A.1B.2C.3D.\frac{1}{2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.如圖,A、B是水平面上兩個點,相距800m,在A點測得山頂C的仰角是25°,∠BAD=40°,又在點B測得∠ABD=40°,其中D點是點C在水平面上的垂足.求山高CD(精確到1m).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象與x軸的一個交點(-\frac{π}{12},0)到其相鄰的一條對稱軸的距離為\frac{π}{4}.若f(\frac{π}{12})=\frac{3}{2},則函數(shù)f(x)在[0,\frac{π}{2}]上的最小值為( �。�
A.\frac{1}{2}B.-\sqrt{3}C.-\frac{{\sqrt{3}}}{2}D.-\frac{1}{2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2,A{A_1}=\sqrt{3}.M,N分別為BC和CC1的中點,P為側(cè)棱BB1上的動點.
(Ⅰ)求證:平面APM⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)若P為線段BB1的中點,求證:A1N∥平面APM;
(Ⅲ)試判斷直線BC1與平面APM是否能夠垂直.若能垂直,求PB的值;若不能垂直,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知函數(shù)f(x)=\frac{mx}{lnx},曲線y=f(x)在點(e2,f(e2))處的切線與直線2x+y=0垂直(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求f(x)的解析式及單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)-\frac{k{x}^{2}}{x-1}無零點,求k的取值范圍..

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.若全集U={1,2,3,4,5},M={1,4},N={2,3},則集合{5}等于( �。�
A.M∪NB.M∩NC.(∁UM)∪(∁UN)D.(∁UM)∩(∁UN)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.F1,F(xiàn)2分別是雙曲線\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a,b>0)的左右焦點,點P在雙曲線上,滿足\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0,若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為\frac{\sqrt{3}-1}{2},則該雙曲線的離心率為(  )
A.\sqrt{2}B.\sqrt{3}C.\sqrt{2}+1D.\sqrt{3}+1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案