Question

5．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，$A{A_1}=\sqrt{3}$．M，N分別為BC和CC₁的中點，P為側(cè)棱BB₁上的動點．
（Ⅰ）求證：平面APM⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若P為線段BB₁的中點，求證：A₁N∥平面APM；
（Ⅲ）試判斷直線BC₁與平面APM是否能夠垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導(dǎo)出AM⊥BC，BB₁⊥底面ABC，BB₁⊥AM，從而AM⊥平面BB₁C₁C，由此能證明平面APM⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）取C₁B₁中點D，連結(jié)A₁D，DN，DM，B₁C，則四邊形A₁AMD為平行四邊形，從而A₁D∥AM，進而A₁D∥平面APM；進一步推導(dǎo)出DN∥B₁C，MP∥B₁C，則DN∥MP，從而DN∥平面APM，進而平面A₁DN∥平面APM，由此能證明A₁N∥平面APM．
（Ⅲ）假設(shè)BC₁與平面APM垂直，則BC₁⊥PM．設(shè)PB=x，$x∈[0，\sqrt{3}]$．推導(dǎo)出$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}∉[0，\sqrt{3}]$，從而得到直線BC₁與平面APM不能垂直．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）由已知，M為BC中點，且AB=AC，所以AM⊥BC．
又因為BB₁∥AA₁，且AA₁⊥底面ABC，所以BB₁⊥底面ABC．
因為AM?底面ABC，所以BB₁⊥AM，
又BB₁∩BC=B，
所以AM⊥平面BB₁C₁C．
又因為AM?平面APM，
所以平面APM⊥平面BB₁C₁C．  …（5分）
（Ⅱ）取C₁B₁中點D，連結(jié)A₁D，DN，DM，B₁C．
由于D，M分別為C₁B₁，CB的中點，所以DM∥A₁A，且DM=A₁A．
則四邊形A₁AMD為平行四邊形，所以A₁D∥AM．
又A₁D?平面APM，AM?平面APM，所以A₁D∥平面APM．
由于D，N分別為C₁B₁，C₁C的中點，所以DN∥B₁C．
又P，M分別為B₁B，CB的中點，所以MP∥B₁C．
則DN∥MP．又DN?平面APM，MP?平面APM，所以DN∥平面APM．
由于A₁D∩DN=D，所以平面A₁DN∥平面APM．
由于A₁N?平面A₁DN，所以A₁N∥平面APM．…10分
解：（Ⅲ）假設(shè)BC₁與平面APM垂直，
由PM?平面APM，則BC₁⊥PM．
設(shè)PB=x，$x∈[0，\sqrt{3}]$．當(dāng)BC₁⊥PM時，∠BPM=∠B₁C₁B，
所以$\user2{Rt}△PBM$∽Rt△∠B₁C₁B，所以$\frac{PB}{MB}=\frac{{{C_1}{B_1}}}{{B{B_1}}}$．
由已知$MB=\sqrt{2}，{C_1}{B_1}=2\sqrt{2}，B{B_1}=\sqrt{3}$，
所以$\frac{x}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，得$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
由于$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}∉[0，\sqrt{3}]$，
因此直線BC₁與平面APM不能垂直． …（14分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查線面是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．