Question

7．記[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1，設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{x_n}滿(mǎn)足：x₁=a，${x_{n+1}}=[\frac{{{x_n}+[\frac{a}{x_n}]}}{2}]（n∈{N^*}）$，現(xiàn)有下列命題：
①當(dāng)a=5時(shí)，數(shù)列{x_n}的前3項(xiàng)依次為5，3，2；
②對(duì)數(shù)列{x_n}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，總有x_n=x_k；
③當(dāng)n≥1時(shí)，${x_n}＞\sqrt{a}-1$；
④對(duì)某個(gè)正整數(shù)k，若x_k+1≥x_k，則${x_n}=[\sqrt{a}]$；
其中的真命題個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 按照給出的定義對(duì)四個(gè)命題結(jié)合數(shù)列的知識(shí)逐一進(jìn)行判斷真假．對(duì)于①：列舉即可；對(duì)于②：需舉反例；對(duì)于③，可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；對(duì)于④：可由歸納推理判斷其正誤．

解答 解：對(duì)于①：當(dāng)a=5時(shí)，x₁=5，x₂=$[\frac{5+[\frac{5}{5}]}{2}]$=3，x₃=$[\frac{3+[\frac{5}{3}]}{2}]$=2，故①正確；
對(duì)于②：當(dāng)a=1時(shí)，x₂=$[\frac{1+[\frac{1}{1}]}{2}]$=1，x₃=1，x_k恒等于[$\sqrt{1}$]=1；
當(dāng)a=2時(shí)，x₁=2，x₂=$[\frac{3+1}{2}]$=1，x₃=$[\frac{1+[\frac{2}{1}]}{2}]$=1，
∴當(dāng)k≥2時(shí)，恒有xk=[$\sqrt{2}$]=1；
當(dāng)a=3時(shí)，x₁=3，x₂=2，x₃=1，x₄=2，x₅=1，x₆=2，x₇=1，…，
此時(shí)數(shù)列{x_n}除第一項(xiàng)外，從第二項(xiàng)起以后的項(xiàng)以2為周期重復(fù)出現(xiàn)，
因此不存在正整數(shù)k，使得n≥k時(shí)，總有x_n=x_k，故②不正確；
對(duì)于③：在x_n+[$\frac{a}{{x}_{n}}$]中，當(dāng)$\frac{a}{{x}_{n}}$為正整數(shù)時(shí)，x_n+[$\frac{a}{{x}_{n}}$]=x_n+$\frac{a}{{x}_{n}}$≥2$\sqrt{a}$，
∴x_n+1=$[\frac{{x}_{n}+[\frac{a}{{x}_{n}}]}{2}]$≥[$\frac{2\sqrt{a}}{2}$]=[$\sqrt{a}$]；
當(dāng)$\frac{a}{{x}_{n}}$不是正整數(shù)時(shí)，令[$\frac{a}{{x}_{n}}$]=$\frac{a}{{x}_{n}}$-t，t為$\frac{a}{{x}_{n}}$的小數(shù)部分，
0＜t＜1，x_n+1=$[\frac{{x}_{n}+[\frac{a}{{x}_{n}}]}{2}]$=$[\frac{{x}_{n}+[\frac{a}{{x}_{n}}]-t}{2}]$＞[$\frac{2\sqrt{a}-t}{2}$]=[$\sqrt{a}$-$\frac{t}{2}$]=[$\sqrt{a}$]，
∴x_n+1≥[$\sqrt{a}$]，∴x_n≥[$\sqrt{a}$]，∴x_n＞$\sqrt{a}$-1，故③正確；
由以上論證知，存在某個(gè)正整數(shù)k，若x_k+1≥x_k，
則當(dāng)n≥k時(shí)，總有x_n=[$\sqrt{a}$]，故④正確．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，歸納推理和演繹推理的方法，直接證明和間接證明方法，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，難度較大，需有較強(qiáng)的推理和思維能力．