Question

12．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠DAB=60°，EF∥AC，EF=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：FC∥平面BDE；
（Ⅱ）若EA=ED，求證：AD⊥BE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設AC∩BD=O，連接EO，證明FC∥EO，即可證明：FC∥平面BDE；
（Ⅱ）取AD中點M，連接EM，BM，證明AD⊥平面EMB，即可證明：AD⊥BE．

解答 證明：（Ⅰ）設AC∩BD=O，連接EO．
∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴OC=$\sqrt{3}$，
∵EF∥AC，
∴EFCO為平行四邊形，
∴FC∥EO，
∵FC?平面BDE，EO?平面BDE，
∴FC∥平面BDE；
（Ⅱ）取AD中點M，連接EM，BM，
∵EA=ED，∴EM⊥AD．
∵AB=AD=BD，∴BM⊥AD，
∵EM∩BM=M，
∴AD⊥平面EMB，
∵BE?平面EMB，
∴AD⊥EB．

點評 本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．