Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

-lnx，試判斷函數(shù)分別在下列條件下的單調(diào)性：
（1）a＜-1；
（2）a＜0；
（3）a∈R．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，求導(dǎo)數(shù)，然后，將導(dǎo)數(shù)表達式進行化簡，最后，結(jié)合二次函數(shù)和一元二次不等式對a的取值情況進行分類討論．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x

-lnx，定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=1-

a

x2

-

1

x

=

x2-x-a

x2

，
（1）令f′（x）＞0，x²-x-a＞0，
∵方程x²-x-a=0的判別式：
△=1+4a，
∵a＜-1，
∴△=1+4a＜0，
∴f′（x）＞0恒成立，
增區(qū)間為：（0，+∞），
此時沒有減區(qū)間．
（2）當a＜0時，
結(jié)合（1），此時，△=1+4a＜0，
∴f′（x）＞0恒成立，
增區(qū)間為：（0，+∞），
此時沒有減區(qū)間．
（3）結(jié)合（1），
令f′（x）＞0，x²-x-a＞0，
∵方程x²-x-a=0的判別式：
△=1+4a，
當△＜0時，即a＜-

1

4

，
此時，只有增區(qū)間為：（0，+∞），
此時沒有減區(qū)間．
當△≥0時，即a≥-

1

4

，
此時，增區(qū)間為：（

1+ 1+4a

2

，+∞），
減區(qū)間：（0，

1+ 1+4a

2

）．

點評：本題重點考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)等知識，屬于中檔題，重點考查分類討論思想．