Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₁＋a₃＝8，a₂＋a₄＝12.
（1）{a_n}的通項公式；
（2）記{a_n}的前n項和為S_n，若a₁，a_k，S_k＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．

Answer 1

(1) a_n＝2n.(2) k＝6.

試題分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式，借助于條件a₁+a₃=12，a₂+a₄=6，可求a₁，d的值，從而可求 數(shù)列的通項公式a_n及它的前n項和S_n．
（2）由(1)可得S_n＝n(n＋1)，那么結(jié)合因為a₁，a_k，S_k＋2成等比數(shù)列得到k的值。
解：(1)設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意知
解得a₁＝2，d＝2.
所以a_n＝a₁＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)可得S_n＝＝＝n(n＋1)．
因為a₁，a_k，S_k＋2成等比數(shù)列，所以＝a₁S_k＋2.
從而(2k)²＝2(k＋2)(k＋3)，即k²－5k－6＝0，
解得k＝6或k＝－1(舍去)．因此k＝6.
點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于等差數(shù)列的等差中項的性質(zhì)的靈活運用求解通項公式。