Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx-x（a≠0），g（x）=x²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意的a∈（1，+∞），總存在x₁，x₂∈[1，a]，使得f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂）+m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x²+alnx-x-x²=alnx-x，x∈[1，a]．原問題等價于：對任意的a∈（1，+∞），總存在x₁，x₂∈[1，a]，使得F（x₁）-F（x₂）＞m成立，即F（x）_max-F（x）_min＞m，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），----------------------（1分）
${f^'}（x）=2x+\frac{a}{x}-1=\frac{{2{x^2}-x+a}}{x}$----------------------（2分）
令2x²-x+a=0，△=1-8a
（1）當△=1-8a≤0，即$a≥\frac{1}{8}$時，2x²-x+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，
故函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（0，+∞），無單減區(qū)間．----------------------（3分）
（2）當△＞0，即$a＜\frac{1}{8}$時，由2x²-x+a=0解得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-8a}}}{4}$或${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4}$
i）當$0＜a＜\frac{1}{8}$時，0＜x₁＜x₂，
所以當$0＜x＜\frac{{1-\sqrt{1-8a}}}{4}$或$x＞\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4}$時f′（x）＞0
當$\frac{{1-\sqrt{1-8a}}}{4}＜x＜\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4}$時f′（x）＜0-----------------------（4分）
（3）當a≤0時，${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-8a}}}{4}≤0$
所以當$x＞\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4}$時f′（x）＞0，當$0＜x＜\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4}$時f′（x）＜0；------（5分）
綜上所述：
當$a≥\frac{1}{8}$時，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（0，+∞），無單減區(qū)間．
當$0＜a＜\frac{1}{8}$時，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為$（0，\frac{{1-\sqrt{1-8a}}}{4}）$和$（\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4}，+∞）$，
單減區(qū)間為$（\frac{{1-\sqrt{1-8a}}}{4}，\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4}）$．
當a≤0時，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為$（\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4}，+∞）$，單減區(qū)間為$（0，\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4}）$．----------------------（6分）
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x²+alnx-x-x²=alnx-x，x∈[1，a]．
原問題等價于：對任意的a∈（1，+∞），總存在x₁，x₂∈[1，a]，使得F（x₁）-F（x₂）＞m成立，
即F（x）_max-F（x）_min＞m．----------------------（8分）
∵${F^'}（x）=\frac{a}{x}-1=\frac{a-x}{x}$，∵a∈（1，+∞），x∈[1，a]，
∴F′（x）＞0，∴F（x）在x∈[1，a]上單調(diào)遞增，
∴F（x）≤F（x）_max-F（x）_min=F（a）-F（1）=alna-a+1，----------------------（10分）
即alna-a+1＞m對任意的a∈（1，+∞）恒成立，
令h（a）=alna-a+1，a∈（1，+∞），只需h（a）_min＞m，----------------------（11分）
h′（a）=lna，∵a∈（1，+∞），∴h′（a）＞0，∴h（a）在a∈（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（a）＞h（1）=0，----------------------（12分）
所以m≤0．---------------------（13分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．