Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點(diǎn)．
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求證：BE∥平面PAD．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：PA⊥CD，結(jié)合CD⊥AD與線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直．
（2）取PD的中點(diǎn)為F，連接EF，AF，即可得到EF∥CD，CD=2EF，由題中條件可得EF=AB，并且EF∥AB，進(jìn)而得到四邊形ABEF為平行四邊形，得到BE∥AF，再利用線面平行的判定定理得到線面平行．

解答：證明：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因?yàn)镃D⊥AD，PA∩AD=A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因?yàn)镃D?平面PCD，
所以平面PDC⊥平面PAD．
（2）取PD的中點(diǎn)為F，連接EF，AF，
因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，
所以EF為△PCD的中位線，
所以EF∥CD，CD=2EF，
又因?yàn)镃D=2AB，AB∥CD，
所以EF=AB，并且EF∥AB，
所以四邊形ABEF為平行四邊形，
所以BE∥AF，
因?yàn)锳F?平面PAD，
所以BE∥平面PAD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理，以及考查線面平行的判定定理，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)的定理與幾何體的結(jié)構(gòu)特征，此題屬于基礎(chǔ)題，考查學(xué)生的空間想象能力與邏輯推理能力．