Question

在直角坐標平面中，ΔABC的兩個頂點的坐標分別為，，兩動點滿足++=，||=||=||，向量與共線.

(1)求的頂點的軌跡方程；

(2)若過點的直線與(1) 軌跡相交于兩點，求·的取值范圍；

Answer 1

（1）x²―=1.（2）

解析:

：(1)設(shè) (x，y)，∵++=0，∴M(，).

又||=||且向量與共線，∴N在邊AB的中垂線上，∴N(0，).

而||=||，∴=，即x2― =1.------6分

(2)設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，過點P(0，1)的直線方程為y=kx+1，代入x2― =1

得 (3―k2)x2―2kx―4=0∴Δ=4k2+16(3―k2)>0，k2<4

.         ------------------------------4分

而x1，x2是方程的兩根，∴x1+x2=，x1x2=.

∴·=(x1，y1―1)·(x2，y2―1)= x1x2+kx1·kx2=----.----2分

即·=4(1+)

故·的取值范圍為 ---------------4分