Question

7．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． $（0，\frac{1}{2}）$
• D． （0，1）

Answer 1

分析 先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象．由圖可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意，y′=lnx+1-2ax
令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，
函數(shù)y=xlnx-ax²有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，直線y=2ax-1與y=lnx的圖象相切，
由圖可知，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．