Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC₁中點(diǎn)．

(1)求證：AB₁⊥面A₁BD；

(2)求二面角A－A₁D－B的大小；

(3)求點(diǎn)C到平面A₁BD的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO． 　　∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC． 　　∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 　　∴AO⊥平面BCC1B1． 　　連結(jié)B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分別為BC、CC1的中點(diǎn)，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD． 　　在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD． 　　(2)設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連結(jié)AF，由(1)得AB1⊥平面A1BD，∴AF⊥A1D， 　　∴∠AFG為二面角A－A1D－B的平面角． 　　在△AA1D中，由等面積法可求得AF＝，又∵ 　　 　　所以二面角A－A1D－B的大小為． 　　(3)△A1BD中，BD＝ 　　S△BCD＝1． 　　在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距離為． 　　設(shè)點(diǎn)C到平面A1BD的距離為d． 　　由得， 　　∴ 　　∴點(diǎn)C到平面A1BD的距離為 　　解法二： 　　(1)取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO． 　　∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC． 　　∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1． 　　取B1C1中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)， 　　∴ 　　(2)設(shè)平面A1AD的法向量為n＝(x，y，z)． 　　 　　令z＝1得n=(，0，1)為平面A1AD的一個(gè)法向量． 　　由(1)知AB1⊥平面A1BD，∴為平面A1BD的法向量． 　　 　　(3)由(2)，為平面A1BD法向量． 　　∵， 　　∴點(diǎn)C到平面A1BD的距離．