Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣a|，a∈R． （Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤4的解集為[﹣1，7]，且兩正數(shù)s和t滿足2s+t=a，求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化為|x﹣2|+|2x﹣5|≥6． ① x≥2.5時(shí)，不等式可化為x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥ ；
②2≤x＜2.5，不等式可化為x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈；
③x＜2，不等式可化為2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤ ，
綜上所述，不等式的解集為（﹣ ] ；
（Ⅱ）證明：不等式f（x）≤4的解集為[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，
∴ = （ ）（2s+t）= （10+ + ）≥6，當(dāng)且僅當(dāng)s= ，t=2時(shí)取等號(hào)
【解析】（Ⅰ）利用絕對(duì)值的意義表示成分段函數(shù)形式，解不等式即可．（2）根據(jù)不等式的解集求出a=3，利用1的代換結(jié)合基本不等式進(jìn)行證明即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．