Question

【題目】如圖，橢圓 的左焦點為F1 ， 右焦點為F2 ， 過F1的直線交橢圓于A，B兩點，△ABF2的周長為8，且△AF1F2面積最大時，△AF1F2為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q．試探究：①以PQ為直徑的圓與x軸的位置關系？ ②在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABF2的周長為8，∴4a=8，∴a=2．

又當△AF1F2面積最大時為正三角形，∴A（0，b），a=2c，∴c=1，b2=3，

∴橢圓E的方程為

（2）解：①由 ，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0

由直線與橢圓相切得m≠0，△=0，4k2﹣m2+3=0．

求得 ，Q（4，4k+m），PQ中點到x軸距離 ．

所以圓與x軸相交．

②假設平面內存在定點M滿足條件，由對稱性知點M在x軸上，設點M坐標為M（x1，0）， ．

由 ，得 ．

∴ ，即x1=1．

所以定點為M（1，0）．

【解析】（1）利用橢圓的定義、等邊三角形的性質即可得出；（2）①判斷圓心到x軸的距離與半徑的大小關系即可得出； ②假設平面內存在定點M滿足條件，則由對稱性知點M在x軸上，再利用直徑所對的圓周角是直角即可求出．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．