【題目】如圖,橢圓 的左焦點為F1 , 右焦點為F2 , 過F1的直線交橢圓于A,B兩點,△ABF2的周長為8,且△AF1F2面積最大時,△AF1F2為正三角形.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.試探究:①以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系? ②在坐標平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出M的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:∵△ABF2的周長為8,∴4a=8,∴a=2.
又當△AF1F2面積最大時為正三角形,∴A(0,b),a=2c,∴c=1,b2=3,
∴橢圓E的方程為
(2)解:①由 ,得方程(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0
由直線與橢圓相切得m≠0,△=0,4k2﹣m2+3=0.
求得 ,Q(4,4k+m),PQ中點到x軸距離 .
所以圓與x軸相交.
②假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件,由對稱性知點M在x軸上,設(shè)點M坐標為M(x1,0), .
由 ,得 .
∴ ,即x1=1.
所以定點為M(1,0).
【解析】(1)利用橢圓的定義、等邊三角形的性質(zhì)即可得出;(2)①判斷圓心到x軸的距離與半徑的大小關(guān)系即可得出; ②假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件,則由對稱性知點M在x軸上,再利用直徑所對的圓周角是直角即可求出.
【考點精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標準方程,需要了解橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能得出正確答案.
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【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的內(nèi)角對邊分別為a,b,c,滿足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac. (Ⅰ)求B.
(Ⅱ)若sinAsinC= ,求C.
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【題目】如圖,李先生家住H小區(qū),他工作在C科技園區(qū),從家開車到公司上班路上有L1、L2兩條路線,L1路線上有A1、A2、A3三個路口,各路口遇到紅燈的概率均為 ;L2路線上有B1、B2兩個路口,各路口遇到紅燈的概率依次為 , .
(1)若走L1路線,求最多遇到1次紅燈的概率;
(2)若走L2路線,求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;
(3)按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求,請你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線,并說明理由.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|,a∈R. (Ⅰ)當a=2時,解不等式:f(x)≥6﹣|2x﹣5|;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≤4的解集為[﹣1,7],且兩正數(shù)s和t滿足2s+t=a,求證: .
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【題目】在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別是a,b,c,M為BC的中點,BM=MC=2,AM=b﹣c,則△ABC面積最大值為 .
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【題目】長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,D1D=3,點M是B1C1的中點,點N是AB的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.
(1)寫出點D、N、M的坐標;
(2)求線段MD、MN的長度.
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【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足,a2=3,a5=81.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log3an , 求{bn}的前n項和為Sn .
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